Как выглядит экспонента на графике
Перейти к содержимому

Как выглядит экспонента на графике

  • автор:

 

Что означает экспонента в математике

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

  • Определение и формула экспоненты
  • График экспоненты
  • Свойства экспоненциальной функции

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Экспонента через предел

Через степенной ряд Тейлора:

Экспонента через степенной ряд Тейлора

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

График экспоненты

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Функция EXP (экспонента) в Microsoft Excel

Экспонента в Microsoft Excel

Одной из самых известных показательных функций в математике является экспонента. Она представляет собой число Эйлера, возведенное в указанную степень. В Экселе существует отдельный оператор, позволяющий её вычислить. Давайте разберемся, как его можно использовать на практике.

Вычисление экспоненты в Эксель

Экспонента является числом Эйлера, возведенным в заданную степень. Само число Эйлера приблизительно равно 2,718281828. Иногда его именуют также числом Непера. Функция экспоненты выглядит следующим образом:

где e – это число Эйлера, а n – степень возведения.

Для вычисления данного показателя в Экселе применяется отдельный оператор – EXP. Кроме того, эту функцию можно отобразить в виде графика. О работе с этими инструментами мы и поговорим далее.

Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции

Для того чтобы рассчитать в Экселе величину экспоненты для значения e в указанной степени, нужно воспользоваться специальным оператором EXP. Его синтаксис является следующим:

То есть, эта формула содержит только один аргумент. Он как раз и представляет собой степень, в которую нужно возвести число Эйлера. Этот аргумент может быть как в виде числового значения, так и принимать вид ссылки на ячейку, содержащую в себе указатель степени.

    Таким образом для того, чтобы рассчитать экспоненту для третьей степени, нам достаточно ввести в строку формул или в любую незаполненную ячейку на листе следующее выражение:

Расчет экспоненты в Microsoft Excel

Результат расчета экспоненты в Microsoft Excel

Способ 2: использование Мастера функций

Хотя синтаксис расчета экспоненты предельно прост, некоторые пользователи предпочитают применять Мастер функций. Рассмотрим, как это делается на примере.

    Устанавливаем курсор на ту ячейку, где должен будет выводиться итоговый результат расчета. Щелкаем по значку в виде пиктограммы «Вставить функцию» слева от строки формул.

Переход в Мастер функций в Microsoft Excel

Переход к аргументам функции EXP в Microsoft Excel

Аргументы функции EXP в Microsoft Excel

Результат расчета функции EXP в Microsoft Excel

Если в качестве аргумента используется ссылка на ячейку, которая содержит показатель степени, то нужно поставить курсор в поле «Число» и просто выделить ту ячейку на листе. Её координаты тут же отобразятся в поле. После этого для расчета результата щелкаем по кнопке «OK».

Аргументы функции EXP в виде координат в Microsoft Excel

Способ 3: построение графика

Кроме того, в Экселе существует возможность построить график, взяв за основу результаты, полученные вследствие вычисления экспоненты. Для построения графика на листе должны уже иметься рассчитанные значения экспоненты различных степеней. Произвести их вычисление можно одним из способов, которые описаны выше.

    Выделяем диапазон, в котором представлены экспоненты. Переходим во вкладку «Вставка». На ленте в группе настроек «Диаграммы» нажимаем на кнопку «График». Открывается список графиков. Выбирайте тот тип, который считаете более подходящим для выполнения конкретных задач.

Потроение графика в Microsoft Excel

График построен в Microsoft Excel

Как видим, рассчитать экспоненту в Экселе при помощи функции EXP элементарно просто. Эту процедуру легко произвести как в ручном режиме, так и посредством Мастера функций. Кроме того, программа предоставляет инструменты для построения графика на основе этих расчетов.

ЗакрытьМы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12692 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

ЗакрытьОпишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Экспонента, е в степени х

Свойства экспоненты

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты е в степени х

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

y = е х
Область определения – ∞ < x < + ∞
Область значений 0 < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1
+ ∞
0

Обратная функция

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

  • Определение и формула экспоненты
  • График экспоненты
  • Свойства экспоненциальной функции

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Экспонента через предел

Через степенной ряд Тейлора:

Экспонента через степенной ряд Тейлора

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

График экспоненты

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Рассмотрим выражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Определение:

Показательной функцией называется функция вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решениягде а — постоянная, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Область определения показательной функции — это естественная область определения выражения Показательная функция, её график и свойства с примерами решеният. е. множество всех действительных чисел.

Свойства, указанные в этой теореме, мы примем без доказательства.

Изображение графика показательной функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений показательной функции — это проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 27 и 30 видно, что эта проекция есть интервал Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияна оси Оу. Это значит, что для любой точки Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпринадлежащей этому интервалу, найдется такая точка Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияна оси Ох, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(свойство 2).

Множество (область) значений показательной функции — это интервал Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа в этом интервале нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График показательной функции проходит через точку Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи лежит в верхней полуплоскости (свойства 4, 5, 6).

График показательной функции не симметричен относительно оси ординат, поэтому она не является четной; график показательной функции не симметричен относительно начала координат, поэтому она не является нечетной (свойство 7).

На рисунке 27 видно, что при а > 1 показательная функция возрастает, а на рисунке 30 видно, что при 0 0 всегда. 3) Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Комментарий:

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет корней. Другие уравнения приведем к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи перейдем к равносильному уравнению Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №6

Решите уравнение: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 5.

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 1.

Комментарий:

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени.

В этом случае для приведения уравнения к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпопробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одинаковыми основаниями.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятаким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для левой части этого уравнения воспользуемся формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи запишем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №7

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 1

Комментарий:

В левой части уравнения все члены содержат выражения вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае в левой части уравнения удобно вынести за скобки наименьшую степень числа 3, то есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №8

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решениялюбое Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияРассмотрим два случая. 1) При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякорни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решения2) При Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому данное уравнение равносильно уравнению Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 1) при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения2) при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Комментарий:

Это уравнение относительно переменной Показательная функция, её график и свойства с примерами решениясодержит параметр Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияАнализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоснование Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— возрастающая, а при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— постоянная (см. графики функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения). Основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа при всех других значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоснование Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияРассмотрим каждый из этих случаев отдельно: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями» приведенные в табл. 53).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Учитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияприводим все степени к одному основанию 2:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной.

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет. Ответ: 1.

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Приведем все степени к основаниям 2 и 3: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияИмеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — Показательная функция, её график и свойства с примерами решения). Для его решения разделим обе части на Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗамена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет или Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 0.

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное выражение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТеперь можно вынести за скобки общий множитель Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем два уравнения: 1) Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения2) Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: 2; 1.

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в п. 14.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. используя формулы: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, в уравнении

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

вместо Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязаписываем произведение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи получаем уравнение

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием 2: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучить уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Напомним общий ориентир: если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Обращаем внимание на то, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТаким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому удобно ввести замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем квадратное уравнение

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену. Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений).

В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не приводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, следует попытаться привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение. Например, рассмотрим уравнение

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(степень одночлена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятакже равна Показательная функция, её график и свойства с примерами решения). Напомним ориентир:

Если все члены, уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (и ли от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень*, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным и его можно решить делением обеих частей или на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтметим, что при всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыражения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили после сокращения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияВ последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи выполнить замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Далее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в табл. 19.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесообразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в табл. 19 для уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №9

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обратная замена дает уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет или Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: 1.

Комментарий:

В данное уравнение переменная входит только в одном виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому удобно ввести замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования данного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения следует позаботиться о том, чтобы не получить посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи поэтому ОДЗ полученного уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решениябудет учтена автоматически).

*Конечно, если уравнение имеет вид Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(где Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— многочлен), то речь идет только о степени членов многочлена Показательная функция, её график и свойства с примерами решения, поскольку нуль-многочлен степени не имеет.

Пример №10

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗамена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет. 5 Ответ: 0.

Комментарий:

  • 1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
  • 2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
  • 3. Выполняем замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решениярешаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).
Пример №11

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 2.

Комментарий:

  • 1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней, переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные члены.
  • 2. Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(с основаниями 2 и 3) одинаковые — Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияследовательно, это уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наибольшую степень одного из видов выражений с переменной — или на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв результате деления на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем уравнение, равносильное предыдущему (а значит, и данному).

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.

Пример №12

Решите систему уравнений Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Из первого уравнения системы Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда из второго уравнения получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗамена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияиз которого получаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияимеющее корни: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоткуда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНаходим соответствующие значения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияесли Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияесли Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Комментарий:

Если из первого уравнения выразить Показательная функция, её график и свойства с примерами решениячерез Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2). Выполняя замену, учитываем, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда в полученном дробном уравнении Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязнаменатель Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТаким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №13

Решите систему уравнений Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает систему уравнений и Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияИз второго уравнения этой системы имеем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияДалее из первого уравнения получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: (2; 2).

Комментарий:

Если обозначить Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

Решение показательных неравенств

1. График показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— знак неравенства сохраняется

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— знак неравенства меняется на противоположный

Примеры:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, следовательно: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывающая, следовательно: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. Решение более сложных показательных неравенств

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательны х уравнений) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и др.).

После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениярешения которого Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(см. рисунок).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(ре шений нет) или Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоткуда Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

II. Применяем метод интервалов, приводя данное неравенство к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи используя схему:

  1. Найти ОДЗ.
  2. Найти нули Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  3. Отметить пули функции на ОДЗ и найти знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обозначим Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

  1. ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  2. Нули функции: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения
  3. Поскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения
  4. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(или Показательная функция, её график и свойства с примерами решениягде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решения) основывается на свойствах функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякоторая возрастает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи убывает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНапример, чтобы найти решение неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем неравенство

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(1)

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства(1)). При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рис. 14.3.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, чтобы решить неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить это неравенство в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияучесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастающая, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение данного неравенства можно записывать в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили в виде промежутка Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Аналогично, чтобы решить неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить это неравенство в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияучесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывающая, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Учитывая, что при любых положительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда больше нуля, получаем, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения решений не имеет, а неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения выполняется при всех действительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет решений, а решениями неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения равносильно неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решения а при О 0, Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияназывается показательной функцией.

1) Область определения показательной функции все действительные числа.Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Множество значений показательной функции все положительные

числа.Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3) Так как Показательная функция, её график и свойства с примерами решения= 1(при х = 0), то показательная функция пересекает ось у в точке (0; 1).

4) При а > 1 функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастающая, при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывающая.

5) Показательная функция не пересекает ось абсцисс и её график расположен выше оси х, т.е. в верхней полуплоскости.

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи её график называется экспонентой.

Экспонента при изменении аргумента увеличивается или уменьшается с большой скоростью.

6) При Показательная функция, её график и свойства с примерами решения, если х бесконечно возрастают, соответствующие значения у бесконечно убывают и точки графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеограниченно стремятся к оси абсцисс. При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияточки на графике неограниченно стремятся к оси абсцисс.

Экспоненциально возрастающая и экспоненциально убывающие функции

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятакже называется экспоненциальной функцией.

Например: функцию Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияможно записать в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример:

По графику функции зададим её уравнение.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Составим таблицу значений.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Из таблицы значений видно, что при увеличении значений х на 1 единицу, значения у уменьшаются в Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Значит, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.Тогда формула функции будет: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример:

При каких значениях переменных справедливо следующие:

а)равенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения; б) неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения; в) неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения?

Решение:

а) запишем равенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Здесь по свойству степени с действительным показателем х = 3.

б)запишем неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Здесь ясно, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

в)запишем неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(в виде степени с одинаковым основанием), степени с основанием меньше 1. Получим, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Преобразование графиков показательных функций

Общий вид показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Функция вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется основной функцией в семействе показательных функций. Выполняя различные преобразования можно построить графики следующих функций

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

•График в Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияраз растягивается от оси х.

Например. Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

•При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпроисходит отражение относительно оси х.

Например. Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияГрафик функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

можно построить при помощи графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

используя параллельный перенос. Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №18

Построим график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри помощи параллельного переноса графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. 1.Для функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотметим точки (0; 3), (1; 6); (2; 12) и соединим эти точки гладкой линией. Прямая у = 0 является асимптотой 2.График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияперенесём параллельно на одну единицу влево Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи на одну единицу вверх Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(на вектор (-1; 1)), найдём новые координаты указанных точек и расположим их на координатной плоскости. Соединим эти точки гладкой линией и получим график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой.

В реальной жизни, при ежегодном увеличении величины на постоянный процент, её состояние через Показательная функция, её график и свойства с примерами решениялет можно оценить формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решения, при уменьшении — формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.Здесь а — начальное количество, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— процент увеличения (уменьшения) ( десятичная дробь), Показательная функция, её график и свойства с примерами решения-количество лет.

При помощи данных формул решим следующее задание.

Пример №19

Цена автомобиля купленного за 24 ООО руб ежегодно снижается на 12%. Запишем зависимость между количеством лет Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияэксплуатации автомобиля и его ценой.

Решение.

В формулеПоказательная функция, её график и свойства с примерами решенияпримем а = 24000, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения= 12% = 0,12, 1 — Показательная функция, её график и свойства с примерами решения= 0,88.

Тогда данную ситуацию можно смоделировать показательной

функцией Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Показательная функция. Число е.

Исследование:

Представьте, что вы вложили в банк 1 руб, под сложные проценты с процентной ставкой равной 100%. В течении года вы произвели вычислений Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияраз, подставив в формулу сложного процентного роста следующие данные Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Вычислите значения функции и установите, к какому числу приближается значение функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри различных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Как видно, если банк будет чаще вычислять процент для вложенной суммы, то прибыль увеличится. Однако, отношение ежедневных вычислений к ежемесячным даёт прибыль 10 гяпик. Если даже банк будет находить процент для денег на счету ежесекундно , то и в данном случае разница между начислением процентов ежечасно или ежедневно будет незначительна. Из графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпостроенного при помощи графкалькулятора видно, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияимеет горизонтальную асимптоту.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Число е:

Исследование показывает, что при увеличении значений Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение выражения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияколеблется между 2,71 и 2,72. Это число записывается буквой е и имеет значение е = 2,718 281 828 459. .

Число е, так же как и число Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется иррациональным числом. Эти числа называются трансцендентными числами. Трансцендентным называется число, которое не является корнем уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решениястепени с целыми коэффициентами. Экспоненциальное возрастание или убывание по основанию е задаётся формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Здесь No-начальное значение, t -время, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения-постоянное число.

График функции y=e x

График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения.

Для построения графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияможно использовать различные граф калькуляторы. Например, (http://www.meta-calculator.com/onlinc) или как показано на рисунке, при помощи программы Geometer’s Sketchpad®.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная и логарифмическая функции их свойства и график

Понятие показательной функции и ее график:

Определение. Показательной функцией называется функция вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

График показательной функции (экспонента)

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

1. Область определения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Область значений: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат:

с осью Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

5. Промежутки возрастания и убывания:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает на всей области определения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решения убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

7. Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

8. Для любых действительных значений Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыполняются равенства:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Понятие показательной функции

Показательной функцией называется функция вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоказательная функция

Отметим, что функция вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решениясуществует и при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Тогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНо в этом случае функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне называется показательной. (График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— прямая, изображенная на рис. 118.)

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Поскольку при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияопределено при всех действительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято областью определения показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляются все действительные числа.

Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например Показательная функция, её график и свойства с примерами решения«по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.

Составим таблицу некоторых значений функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 119, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(рис. 119,6).

Как видим из графика, функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей функцией, которая принимает все значения на промежутке Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Аналогично составим таблицу некоторых значений функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 120, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(рис. 120, б).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Как видим из графика, функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей функцией, которая принимает все значения на промежутке. Заметим, что график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияможно получить из графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияс помощью геометрических преобразований. Действительно, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Таким образом, график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениясимметричен графику функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотносительно оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(табл. 4, с. 28), и поэтому, если функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияобязательно будет убывающей.

Оказывается, что всегда при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияграфик функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпохож на график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— на график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(рис. 121). График показательной функции называется экспонентой.

Свойства показательной функции

Как было обосновано выше, областью определения показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляются все действительные числа: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Областью значений функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется множество всех положительных чисел, то есть функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпринимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Это означает, что график показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда расположен выше оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи любая прямая, которая параллельна оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи находится выше нее, пересекает этот график.

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает на всей области определения, Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывает на всей области определения.

Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели. Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТаким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Все остальные свойства показательной функции легко обосновываются с помощью этих свойств.

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне является ни четной, ни нечетной, поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(по определению Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТакже Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(по свойству 1), а Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

 

Точки пересечения с осями координат. График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпересекает ось Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв точке Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Действительно, на оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

График показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне пересекает ось Показательная функция, её график и свойства с примерами решения поскольку на оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияно значение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне принадлежит области значений показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятолько при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияно по определению Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Промежутки знакопостоянства. Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри всех действительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпересекает ось Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв точке Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято, учитывая возрастание функции при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи убывание при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякоторый не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции, приведенные в пункте 8 таблицы 49:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решениябыли обоснованы в разделе 3.

Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее из ряда других функций: если Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято при любых действительных значениях аргументов Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыполняется равенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Действительно, Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияВ курсах высшей математики это свойство (вместе со строгой монотонностью) является основой аксиоматического определения показательной функции. В этом случае дается определение, что показательная функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси, которая удовлетворяет функциональному уравнению Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа затем обосновывается, что функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениясовпадает с функцией Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Кроме общих свойств показательной функции при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТак, на рисунке 122 приведены графики показательных функций Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри значениях основания Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятем круче поднимается график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри движении точки вправо и тем быстрее график приближается к оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятем круче поднимается график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем те причины, которые мешают рассматривать показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

Отметим, что выражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияможно рассматривать и при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНо в этих случаях оно уже будет определено не при всех действительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякак показательная функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияВ частности, выражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияопределено при всех Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(и тогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа выражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— при всех целых значениях ( например Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПо этой причине не берут основание показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(получаем постоянную функцию при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(получаем функцию, определенную только при достаточно «редких» значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПриведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(например, как мы видели выше, пара значений Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпринадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

Примеры решения задач:

Пример №20

Сравните значения выражений:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

1) Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому из неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей поэтому из неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Учтем, что функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, а при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияс единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.

Пример №21

Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что выполняется неравенство:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

1) Поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи по условию Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей, следовательно,

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи по условию Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, следовательно, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В каждом задании данные выражения — это два значения функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы).

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей и Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЕсли большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей, и тогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №22

Постройте график функции:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияследовательно, график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда расположен выше оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЭтот график пересекает ось Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв точке Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоказательная функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает, следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоказательная функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывает, следовательно, графиком функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениябудет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияно никогда ее не пересекает.)

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №23

Изобразите схематически график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Последовательно строим графики:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Составим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований (табл. 4 на с. 28). 1. Мы можем построить график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоснование Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоказательная функция убывает).

2. Затем можно построить график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениясправа от оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(и на самой оси) график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияостается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. После этого можно построить график функции

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

параллельно перенести график Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявдоль оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияна (-3) единицы.

4. Затем можно построить график данной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыше оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(и на самой оси) график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядолжен остаться без изменений(но таких точек у графика функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянет, а ниже оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеобходимо отобразить симметрично относительно оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение показательных уравнении и неравенств

Основные формулы и соотношения:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— возрастает

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— убывает

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— постоянная

Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений:

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №24

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Корней нет (поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядля всех Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: корней нет.

Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим:

1) Если в левой и правой частях показательного уравнения стоят только произведения, частные, корни или степени, то целесообразно с помощью основных формул попробовать записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

Пример №25

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Если в одной части показательного уравнения стоит число, а в другой все члены содержат выражение вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(показатели степеней отличаются только свободными членами), то удобно в этой части уравнения вынести за скобки наименьшую степень Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №26

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной).

Простейшие показательные уравнения

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решениягде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоскольку при этих значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениястрого монотонна (возрастает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи убывает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияимеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно представить Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Очевидно, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется корнем уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Графически это проиллюстрировано на рисунке 123.

Например, чтобы решить уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить это уравнение в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи записать его единственный корень Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Если Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякорней не имеет, поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рисунке 124, прямая Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне пересекает график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияуравнение вида

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияравносильно уравнениюПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Коротко это утверждение можно записать так: при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Чтобы обосновать равносильность этих уравнений, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть верными только одновременно, поскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется строго монотонной и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента (Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято есть из равенства степеней (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Таким образом, все корни уравнения (2) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (3), и наоборот, все корни уравнения (3) будут корнями уравнения (2). А это и означает, что уравнения (2) и(3) равносильны.

В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями (см. таблицу 46) привести (если это возможно) данное уравнение к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных (применение этого метода рассмотрено в табл. 51, с. 344) или свойства соответствующих функций (применение этих методов рассмотрено в табл. 58, с. 403).

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Но в показательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. ниже задачи 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ (задача 4″ на с. 343).

Примеры решения задач:

Пример №27

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

1) Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет, поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда;

3) Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет корней.

Другие уравнения приведем к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи перейдем к равносильному уравнению Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №28

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени. В этом случае для приведения уравнения к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпопробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятаким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево, например для левой части этого уравнения воспользуемся формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято есть запишем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №29

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В левой части уравнения все члены содержат выражения вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае в левой части уравнения удобно вынести за скобки наименьшую степень числа 3, то есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №30

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

► ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Рассмотрим два случая.

1) При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякорни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) При Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязначение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи тогда данное уравнение равносильно уравнению

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Отсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: 1) при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2) при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Это уравнение относительно переменной Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякоторое содержит параметр Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияАнализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоснование Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, а при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— постоянной (см. графики функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв табл. 50).

Основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа при всех других значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоснование Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно, то есть: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений:

  1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями, приведенные в табл. 50).
  2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основаниюи выполняем замену переменной.
  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Учитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияприводим все степени к одному основанию 2: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗамена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякорней нет.

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Приведем все степени к двум основаниям 2 и 3: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияДля его решения разделим обе части на Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет или Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтвет: 0.

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное уравнение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаемПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Теперь можно вынести за скобки общий множитель Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Тогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем два уравнения:

  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в предыдущем пункте 30.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней, используя формулы: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНапример, в уравнении Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявместо Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязаписываем произведение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи получаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияравносильное заданному.

Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи получить уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Напомним общий ориентир: если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Обращаем внимание на то, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТаким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому в этом уравнении удобно ввести замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем квадратное уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядля которого находим корни, а затем выполняем обратную замену (см. решение в табл. 51).

Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений на с. 341).

В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не приводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, следует попытаться привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение.

Например, рассмотрим уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Получаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(степень одночлена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятакже равна Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Напомним (см. раздел 2, с. 172):

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным, и его можно решить делением обеих частей или на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтметим, что при всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыражения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили после сокращения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи выполнить замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияДалее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в таблице 51.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесобразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в таблице 51 для уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №31

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Тогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обратная замена дает

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— корней нет или Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В данное уравнение переменная входит только в одном виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи поэтому удобно ввести замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования данного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения следует позаботиться о том, чтобы не получить посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи поэтому ОДЗ полученного уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решениябудет учтена автоматически).

Пример №32

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда

Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякорней нет

  1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
  2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
  3. Выполняем замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решениярешаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).
Пример №33

Решите уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

  1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней,переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные члены.
  2. Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения(с двумя основаниями 2 и 3) одинаковые — Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияследовательно, это уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наибольшую степень одного из видов выражений с переменной — или на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв результате деления на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем уравнение, равносильное предыдущему (а значит, и заданному).

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.

Пример №34

Решите систему уравнений Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Из первого уравнения системы Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Тогда из второго уравнения получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято есть Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗамена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияиз которого получаем уравнение Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияимеющее корни: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решениятогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоткуда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНаходим соответствующие значения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияесли Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияесли Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Если из первого уравнения выразить Показательная функция, её график и свойства с примерами решениячерез Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2).

Выполняя замену, учитываем, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда в полученном дробном уравнении Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязнаменатель Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТаким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №35

Решите систему уравнений Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи дает систему

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Из второго уравнения этой системы имеем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда из первого уравнения получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Если обозначить Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

После обратной замены получаем систему простейших показательных уравнений

Решение показательных неравенств

График показательной функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения:

  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств:

  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  • Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

знак неравенства сохраняется знак неравенства меняется на противоположный

Пример №36

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения. Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, следовательно: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №37

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияФункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывающая, следовательно: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение более сложных показательных неравенств

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений, табл. 51) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.). После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Пример №38

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениярешения которого Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(см. рисунок).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Обратная замена дает Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(решений нет) или Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияоткуда

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

II. Применяем общий метод интервалов, приводя данное неравенство к виду f (x)Показательная функция, её график и свойства с примерами решения0 и используя схему:

1. Найти ОДЗ.

2. Найти нули Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбозначим Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

1. ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Нули функции: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Поскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решениягде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияосновывается на свойствах функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякоторая возрастает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи убывает при Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНапример, чтобы найти решение неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем неравенствоПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства (1)).

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рисунке 125.

Например, чтобы решить неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядостаточно представить это неравенство в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияучесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Заметим, что решение данного неравенства можно записывать в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияили в виде промежутка Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Аналогично, чтобы решить неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияДостаточно представить это неравенство в виде Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчесть Показательная функция, её график и свойства с примерами решениячто (Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Учитывая, что при любых положительных значениях а значение Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда больше нуля, получаем, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениярешений не имеет, а неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыполняется при всех действительных значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Например, неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне имеет решений, а решениями неравенства являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияравносильно неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияа при Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак неравенства сохраняется).

При Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(знак неравенства меняется на противоположный).

Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решениямогут быть верными только одновременно, поскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) являются равносильными.

Аналогично обосновывается равносильность неравенств Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В простейших случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное неравенство к виду Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

Примеры решения задач:

Пример №39

Решите неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется убывающей, то Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Отсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения( см.рисунок)

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Запишем правую часть неравенства как степень числа Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный (получаем неравенство, равносильное данному).

Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №40

Решите неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядает неравенство

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияравносильное неравенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияимеем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияВыполняя обратную замену, получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияявляется возрастающей, таким образом, Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчитывая ОДЗ, получаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ исходного неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя формулу Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияизбавляемся от числового слагаемого в показателе степени и получаем степени с одним основанием 3, что позволяет ввести замену Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному.

После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияно и ОДЗ исходного неравенства.

Пример №41

Решите неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Обозначим

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

1 ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Нули функции: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Замена Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПолучаем Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОбратная замена дает: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Отсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияОтметим нули функции на ОДЗ, находим знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Данное неравенство можно решать или приведением к алгебраическому неравенству, или методом интервалов. Для решения его методом интервалов используем схему, приведенную в таблице 52.

При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияУчитывая, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпри всех значениях Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв результате деления на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучаем уравнение, равносильное предыдущему.

Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсегда, и после деления данного неравенства на Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи замены Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияполучить алгебраическое неравенство.

Пример №42

Решите неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. Записывая ответ, следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсе нули функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядолжны войти в ответ.

Решение:

Обозначим Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

1. ОДЗ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(см. рисунок).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

2. Нули функции: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияТогда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияИз первого уравнения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— не принадлежит ОДЗ, а из второго: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

3. Отмечаем нули Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияна ОДЗ, находим знак Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Ответ: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательные функции в высшей математике

Рассмотрим функцию, заданную равенством Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияСоставим таблицу её значений для нескольких значений аргумента:
Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

На рисунке 19, а обозначены точки, координаты которых соответствуют этой таблице. Когда на этой же координатной плоскости обозначить больше точек с координатами Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияудовлетворяющих равенству Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияони разместятся, как показано на рисунке 19, б. А если для каждого действительного значения Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявычислить соответствующее значение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи обозначить на координатной плоскости точки с координатами Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияони разместятся на одной бесконечной кривой (рис. 19, в). Эта кривая — график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

График функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияразмещён в I и II координатных четвертях. Когда Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияон как угодно близко подходит к оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияно общих точек с ней не имеет. Говорят, что график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияасимптотически приближается к оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решениячто ось Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияасимптота этого графика. Когда Показательная функция, её график и свойства с примерами решениянеограниченно увеличивается, график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявсё дальше отходит от оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияКак видим, функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияопределена для всех действительных чисел, её область значений — промежуток Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНа всей области определения функция возрастает, она ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

Рассматриваемая функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— пример показательной функции, а именно — показательная функция с основанием 2.

Показательной функцией называется функция, заданная формулой Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Примеры других показательных функций: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияИх графики изображены на рисунке 20. Согласно определению функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияне является показательной.

Основные свойства показательной функции

  1. Область определения функцииПоказательная функция, её график и свойства с примерами решениямножествоПоказательная функция, её график и свойства с примерами решенияибо при каждом положительном Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи действительном Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявыражение Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияопределено.
  2. Область значений функцииПоказательная функция, её график и свойства с примерами решения— множествоПоказательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоскольку, если основание Показательная функция, её график и свойства с примерами решениястепени положительное, то положительная и степень Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияСледовательно, функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпринимает только положительные значения.
  3. Если Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениявозрастает, а если Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— убывает. Это свойство хорошо видно на графиках функций (рис. 20).Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  4. Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениякаждое своё значение принимает только один раз, т. е. прямую, параллельную оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияграфик показательной функции может пересечь только в одной точке. Это следует из свойства 3.
  5. Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияни чётная, ни нечётная, ни периодическая. Поскольку каждое своё значение она принимает только один раз, то не может быть чётной или периодической. Не может она быть и нечётной, так как не имеет ни отрицательных, ни нулевых значений.
  6. График каждой показательной функции проходит через точкуПоказательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоскольку если Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При решении задач и упражнений, связанных с показательной функцией, особенно часто используется третье свойство, в котором указывается на монотонность показательной функции, то есть её возрастание или убывание. В частности из него вытекают следующие утверждения.

  1. Если Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  2. Если Показательная функция, её график и свойства с примерами решения
  3. Если Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Присмотритесь к графикам показательных функций Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(рис. 21). Угловой коэффициент касательной, проведённой в точке Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияк графику функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияменьше 1, а к графику функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— больше 1. Существует ли такая показательная функция, у которой угловой коэффициент касательной к её графику в точке Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияравен 1? Существует (рис. 22).Основание этой показательной функции — иррациональное число 2,71828 . которое принято обозначать буквой Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоказательная функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияв математике и многих прикладных науках встречается довольно часто, ее называют экспонентом (лат. exponens — выставлять напоказ).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

К показательной функции иногда относят также функции вида Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПри помощи таких функций описывают много разных процессов, связанных с физикой, химией, биологией, экономикой, социологией и т. д. Например, процессы новообразования и распада вещества можно описать с помощью формулы Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЗдесь Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— количество вновь образованного (или распавшегося) вещества в момент времени Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— начальное количество вещества, Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— постоянная, значение которой определяется для конкретной ситуации. Подберите самостоятельно соответствующие примеры.

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №43

Сравните с единицей число: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

а) Представим число 1 в виде степени с основанием 0,5. Имеем: Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПоскольку функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияубывающая и Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияфункция возрастающая и Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияотсюда Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №44

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решениязадана на промежутке Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияНайдите её наименьшее и наибольшее значения.

Решение:

Поскольку Показательная функция, её график и свойства с примерами решениято данная функция убывающая. Поэтому её наименьшее и наибольшее значения: Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Пример №45

Постройте график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

Решение:

Функция Показательная функция, её график и свойства с примерами решения— чётная (проверьте). График чётной функции симметричен относительно оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияпоэтому достаточно построить график заданной функции для Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи отобразить его симметрично относительно оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияЕсли Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияПостроим график функции Показательная функция, её график и свойства с примерами решениядля Показательная функция, её график и свойства с примерами решенияи отобразим его симметрично относительно оси Показательная функция, её график и свойства с примерами решения(рис. 23).

Показательная функция, её график и свойства с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *