Что можно начертить линейкой

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

1. с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;
2. с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.

Задача 1 (построение угла, равного данному)

От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.

Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).

Пусть

1) Строим окружность (В, R) , где R — произвольный радиус, и отмечаем точки А₁ и С₁ пересечения ее со сторонами угла ABC.

2) Строим окружность (0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F₁ с лучом OF.

3) Строим окружность (F₁, A₁C₁).

4) Пусть D₁ — одна из точек пересечения окружностей (0, R) и (F₁, A₁C₁) (рис. 130, б). Тогда угол D₁OF — искомый. Докажем, что D₁OF =ABC.

Равенство D₁OF =ABC следует из равенства треугольников А₁ВС₁ и D₁OF₁. Действительно, по построению А₁В = D₁O = С₁В = F₁O. Кроме того, по построению F₁D₁ = А₁С₁, следовательно, треугольники А₁ВС₁ и D₁OF₁ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что D₁OF =А₁ВС₁, т. е. построенный угол D₁OF равен данному углу ABC.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(A, BF).

1) Строим окружности (A, R) и (B, R) , где R AВ. Пусть, например, R = AB: (A, AB) и (B, AB) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(A, AB) и alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(B, AB).

3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />AFD = alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />BFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD BE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.

1) Строим окружность (B, R₁) произвольного радиуса R₁ с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).

2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность (B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.

3) Строим окружности (F, R₂) и (D, R₂), где R2 > FD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />FBT = alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />DBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.

Построение треугольника по трем элементам

В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.

Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.

Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).

По построению имеем, что АС = b, АВ = а и alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />BAC = alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />hk.

При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.

Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) Строим угол ACT, равный углу mq.

4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).

По построению имеем, что АС = a, BAC = hk и ACB = mq.

Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.

Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).

2) Строим окружность (A, a).

3) Строим окружность (C, b).

4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(A, a) и alt=»Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения» />(C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.

По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.

Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как нарисовать звезду пошагово своими руками: мастер-класс по созданию пятиконечной звезды карандашом

Любой народ во все времена наделял пятиконечную звезду определенными свойствами. Звезды издавна ассоциировались с вечностью, рассматривались как астральный символ, который способный влиять на жизнь.

Это многоугольник с равными сторонами вершин и с одинаковыми углами при этих вершинах. Начертить такую идеально ровную звезду-задача не совсем простая. Если же это пяти или восьмиконечная звезда, потребуются некоторые навыки.

На помощь придут обычные подручные канцелярские принадлежности. А с помощью кисти и красок, звезда станет яркой и выразительной.

Содержимое обзора

Пятиконечная звезда, с помощью линейки

Существует несколько способов, как можно нарисовать ровную звезду легко. Можно начертить эту фигуру обыкновенной школьной линейкой. Предпочтительнее использовать не деревянную, а пластмассовую линейку.

Помимо линейки при рисовании звезды не обойтись без:

• Альбома либо листа (формат А4 или больше);
• Карандаша;
• Ластика.

1. В первую очередь, необходимо понять, какую длину должна иметь будущая звезда. Длина измеряется по стороне будущей фигуры. Например, сторона равна 10 см.
2. Выбрав необходимый размер, проводятся две горизонтальные оси на определенном расстоянии, которое измеряется путем деления выбранного размера стороны на 1,55.
3. Например, если предполагаемая сторона равна 10 см, то расстояние между осями составит 6,45 сантиметра (10 разделить на 1,55 получается 6,45).
4. Через центр двух проведенных горизонтальных осей проводится вертикальная линия. Длина верхней оси (10 см) делится пополам, получается 5 сантиметров.
5. От центральной линии отступается в обе стороны по 5 сантиметров, и ставятся точки. То же самое проделывается с нижней осью, но общая длина делится на три.
6. Определяется верх звезды. Для этого длину оси (10 см) надо поделить на 2,6. Отмерив это расстояние, ставится точка.
7. Путем соединения всех точек (их 5), получается ровная звезда.

Детская пятиконечная звезда

Есть еще один вариант, как можно нарисовать звезду карандашом.

Этот способ не требует детальной точности, поэтому хорош при работе над поделками с детьми, а взрослый объяснит, как нарисовать звезду поэтапно.

1. Вначале проводится не жирная вертикальная линия (потом она сотрется).
2. От центра этой линии под одинаковым углом вверх и вниз отводятся по два луча. Наметился «каркас» фигуры.
3. Чтобы получилась звезда, надо соединить намеченные точки. Необязательно, чтобы она была ровная.
4. Непрямые плавные линии, например, сделают звезду с выпуклыми краями.
5. Поэтапно карандашом можно нарисовать звезде вначале глаза, затем нос, рот, ресницы. Все зависит от фантазии и воображения ребенка.

Такой мастер-класс для начинающих художников — не просто пошаговая инструкция, как чертить, но и веселое времяпровождением для детей и родителей.

Пятиконечная звезда, с помощью циркуля

Другим распространенным способом, как красиво нарисовать звезду является вариант с циркулем.

1. Для этого вначале чертится базовая ось, которая пополам пересекается перпендикулярным отрезком.
2. С одной стороны отрезка и со второй делаются по окружности.
3. Затем чертится окружность.
4. Располагающийся от центра к краю, один из отрезков делится на две одинаковые части.
5. Получается нужная точка.
6. Полученные точки соединяются линиями.

Это довольно простая техника рисования позволит начертить с помощью циркуля ровную звезду.

Сегодня есть немало способов, как просто нарисовать не только ровную звезду, а сделать ее выразительной и неординарной. Понадобится обычный тетрадный лист в клеточку, разноцветные фломастеры.

Пятиконечная звезда на листке в клетку

1. С помощью фломастера обводится одна клетка. Это верх звезды.
2. От этой клетки вниз по диагоналям справа и слева надо обвести еще по одной ячейки.
3. Выделить по два квадрата в следующих двух рядах и первый лучик нарисован.
4. Обвести фломастером шесть квадратиков, отступив их от конца последней выделенной клетки верхнего лучика в одну сторону, а затем то же самое проделать в другую сторону.
5. От конца линии наискосок выделить четыре квадрата, от которых в противоположном направлении дважды по два квадратика и один раз по три. Еще один луч готов.
6. Чтобы закончить с первой частью фигуры, надо прибавить слева к трем только что выделенным клеткам еще две.
7. Сверху выделить одну клетку в одном ряду и три клетки в двух рядах.
8. Вторая половина звезды делается по точной аналогии с первой

Пятиконечная звезда, с помощью транспортира

Транспортир также может помочь в рисовании звезды. Для этого надо:

• Поместить инструмент на лист бумаг и обвести всю полукруглую часть.
• Перевернув транспортир в противоположную сторону, снова его обвести, чтобы получилась окружность.
• Поместить инструмент к правой внутренней стороне окружности и сверху под 0 поставить отметку, а справа отметить угол в 72°.
• Под углом 144° поставить еще отметку.
• Перевернуть транспортир таким образом, чтобы последняя пометка была под цифрой 0 и отметить угол в 72°.
• Повторить предыдущий и отметить окружности под числом 72°.
• Получилось 5 отметок.
• Прямой линией соединить следующие отметки:
• Третью с верхней;
• Первую с четвертой;
• Вторую с пятой;
• Пятую с третьей;
• Вторую с четвертой.
• Стереть линии с внутренней и с внешней сторон фигуры, а фломастером соединить все верхушки звезды прямыми линиями.

С помощью транспортира, циркуля, линейки, карандаша можно создать не только пятиконечную звезду, но и звезду с тремя, семью, восьмью концами.

Трехконечная звезда

1. На листе бумаги отметить точку вокруг которой провести окружность произвольного диаметра.
2. Из этой же точки начертить круг вокруг первой окружности.
3. Из центра вверх начертить прямую линию.
4. От этой линии с транспортиром отмерить угол в 120°.
5. Всего будет три сектора по 120°.
6. Отмерить еще один сектор в 120°.
7. Получилось три линии и точки их соединения с большим кругом.
8. Каждый сектор надо поделить транспортиром на две части, каждая по 60°, пунктиром пометить сегменты и точки пересечения линий с малым кругом.
9. Соединив точки с вершинами, получится трехконечная звезда.

Любой фигуре можно придать объем, если начертить в ней больше граней и сочетать разные оттенки одного цвета в этих гранях.

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.