MathCAD — это просто! Часть 15. Знакомство с символьными вычислениями
Мы с вами уже неоднократно употребляли такой термин, как символьный процессор MathCAD. Даже говорили о том, что некоторые вещи (скажем, те же определенные интегралы, которые мы с вами совсем недавно весьма и весьма подробно обсуждали) можно вычислять в MathCAD двумя принципиально отличающимися друг от друга путями: символьным и численным. Однако подробного и обстоятельного разговора о символьных вычислениях в MathCAD у нас еще до сих пор не было. Тем не менее, поскольку символьные вычисления являются очень важным аспектом использования на практике этой математической среды, то и поговорить о них мы, как бы то ни было, в любом случае рано или поздно должны. И лучше это не откладывать на потом, а заняться таким полезным делом, как символьные вычисления, прямо сейчас. Конечно, в одной статье, даже довольно большой, невозможно будет уместить рассказ не то что обо всех возможностях символьного процессора MathCAD’а, но даже хотя бы о самой существенной их части. Именно поэтому эта статья и называется «Знакомство с символьными вычислениями».
Символьный процессор
Символьные вычисления выполняются встроенным в MathCAD символьным процессором, который уже упоминался неоднократно в предыдущих статьях. Стоит отметить, что символьный процессор — это та часть MathCAD’а, которая написана не самой компанией MathSoft, создавшей этот замечательный математический пакет, а фирмой Waterloo Maple Software. Об этом свидетельствует окно About, которое можно вызвать в меню Help. Waterloo Maple Software — компания, разрабатывающая другой известный математический пакет, который называется Maple. Однако это вовсе не означает, что возможности символьного вычисления в MathCAD полностью соответствуют его возможностям в Maple. Дело в том, что в MathCAD используется несколько урезанная версия символьного процессора Maple. Однако это не значит, что символьные вычисления в MathCAD реализованы хуже — вы убедитесь сами, что с помощью встроенного в MathCAD символьного процессора можно делать очень много всяческих полезных вещей.
Итак, давайте определимся: для какого рода вычислений используется символьный процессор? С этим, к счастью, все просто. Если вы хотите получить не число в результате преобразования какого-либо выражения либо решения уравнения, а аналитическую формулу, то это и называется символьными вычислениями. Именно таким родом вычислений и занимается символьный процессор. Стоит еще заметить, что, к сожалению, далеко не всегда символьный процессор способен выдавать результат именно в том виде, в каком его ожидаете увидеть вы. И даже более того: сам по себе результат в каком бы то ни было виде тоже далеко не всегда может быть найден. Дело здесь, в общем-то, не столько в каких-то внутренних дефектах или ограничениях символьного процессора MathCAD’а, сколько в том, что компьютерам, вообще говоря, не слишком свойственно креативное мышление, которое и является залогом успешного решения любой математической задачи. Очень часто компьютер может элементарно «не догадываться» о тех или иных приемах, которые представляются элементарными знакомому с математикой человеку, и глупо на него за это обижаться. Лучше заранее быть готовым к ограниченности символьного процессора и иметь в запасе бумажку с ручкой, чтобы самостоятельно преобразовать выражение к тому виду, который уже будет понятен символьному процессору, и с которым тот уже будет в состоянии разобраться. Символьные алгоритмы, в отличие от численных, принципиально довольно сложны, а потому мы не будем рассматривать подноготную символьного процессора, как это делали с численными методами расчета определенных интегралов.
Упрощение выражений
Упрощение аналитических выражений — это, пожалуй, одна из самых частых задач, с которыми сталкивается любой человек, работающий с формулами. Чем проще выражение, тем проще вычислять какие-либо конкретные значения тех или иных величин с его использованием, и тем проще анализировать его, что немаловажно, когда перед нами стоит задача анализа не просто абстрактной математической формулы, а некой физической, экономической или иной статистической закономерности, которая скрывается за ней. Потому нет ничего удивительного в том, что упрощение выражений является одной из самых важных способностей символьного процессора, встроенного в математическую среду MathCAD. В общем-то, поскольку сам MathCAD часто и сам выдает результаты других видов символьных преобразований в несколько, мягко говоря, неудобном для нормального человеческого восприятия виде, то упрощение выражений может использоваться в проектах MathCAD особенно часто.
Для упрощения выражений используется оператор simplify. Его можно найти на панели Symbolic, которая отличается от других рассмотренных нами панелей главного окна MathCAD тем, что на ней используются не пиктограммы (так называемые «иконки»), а полные варианты написания операторов (за исключением нескольких операторов для работы с матрицами, о которых мы с вами уже говорили, когда разбирались с матричными вычислениями в среде MathCAD).
Использовать оператор упрощения выражений в MathCAD чрезвычайно просто. Достаточно записать выражение, которое вам нужно упростить, нажать на панели символьных вычислений кнопку, отвечающую за вставку оператора символьного упрощения выражения, и, в общем-то, на этом ваша работа по упрощению выражения, если вам повезет, закончится — дальше за вас все будет делать MathCAD. Если же не повезет, то, как я уже говорил выше, запасной вариант — это ручка, бумага и справочник с формулами.
Разложение выражений на множители
Иногда, впрочем, может быть полезен (и мало того, что полезен, но и вовсе необходим для успешного решения задачи) процесс, целиком и полностью обратный упрощению выражений. Процесс этот, конечно, называется не усложнением выражений, а их разложением. Разложение может быть разным, потому что термин этот в математике, надо сказать, весьма и весьма емкий. Можно раскладывать выражение на слагаемые (например, дробь — на сумму простых дробей), можно раскладывать функцию в ряд Фурье или Тейлора, а можно раскладывать многочлен на произведения… В общем, раскладывать нам придется много всего разного. Постараемся поговорить обо всех аспектах этого вида символьных преобразований. Для начала рассмотрим такой процесс, при котором выражение раскладывается на множители — он носит название факторизации и используется самым что ни на есть широким образом в современной криптографии. Для факторизации используется оператор factor, найти который, как вы, наверное, уже догадались, можно на панели Symbolic (там же, где и все остальные операторы символьных вычислений). В случае большинства выражений пользоваться оператором factor ничуть не сложнее, чем оператором simplify. То есть достаточно записать выражение и сам оператор, после чего MathCAD, если это вообще возможно, разложит записанное выражение на множители.
Однако есть случаи, когда такой простой вид оператора factor может оказаться недостаточным. Наверное, когда вы вводили этот оператор в рабочую область MathCAD, то уже успели обратить внимание на то, что по умолчанию программа предлагает ввести после него еще один дополнительный параметр. Что это за параметр, и что именно он делает? Предложу вам сначала взглянуть на иллюстрацию, на которой оператор факторизации используется именно с этим параметром и без него, и сравнить, чем отличаются результаты. После я отдельно прокомментирую его использование, и вы сможете сравнить ваши выводы с правильным ответом. Думаю, он вас удивит.
В справочной системе MathCAD говорится, что параметр (или, говоря более точно терминами самого MathCAD’а, второй маркер ввода) требуется для разложения корней. Т.е. если мы хотим сказать MathCAD, чтобы он раскладывал все до определенной дробной степени переменных, то должны, если верить справке, указывать наши пожелания именно в этом параметре. К сожалению, в данном случае справочная система MathCAD’а несколько подмачивает свою репутацию, поскольку вводит нас в заблуждение. Дело в том, что, как вы можете увидеть из иллюстрации, при попытке указать подобные вещи алгоритму факторизации тот вообще перестает работать. Если вы попробуете перебирать различные варианты параметров или обратитесь к примерам MathCAD’а (т.н. Quicksheets), то увидите, что все, что приведено в Quicksheets, прекрасно работает и без использования второго параметра. Поэтому, если вы подумали, что он нужен для того, чтобы факторизация перестала работать, то поздравляю, ваш ответ верен — на сегодняшний день все обстоит именно так. Поэтому, работая с оператором factor, сразу удаляйте запятую и пустое место для параметра после нее.
Ну, а если вдруг найдете какой-нибудь экзотический случай, в котором эта запятая полезна, то, пожалуйста, не поленитесь написать мне о нем. Вполне возможно, что подобная странность оператора factor связана с происхождением MathCAD’овского символьного процессора. Дополнительный параметр мог использоваться в Maple, а разработчики MathCAD’а просто механически перенесли его описание в документацию, забыв проверить, каким образом он работает в их программе. Однако, конечно, это все домыслы, и как все было на самом деле, знают только работники MathSoft. Что ж, успели мы с вами рассмотреть не так уж много, однако упрощение выражений и их факторизация играют весьма и весьма существенную роль в символьных вычислениях, а потому лучше разобраться с ними как можно полнее и внимательнее. Конечно, точно так же, как и формульные выражения, вы можете преобразовывать и числа (факторизуются, конечно, только целые числа, не являющиеся простыми). И, несмотря на некоторые странности в своей работе, символьный процессор — действительно очень полезная часть MathCAD.
SF, spaceflyer@tut.by
Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 28 за 2008 год в рубрике soft
Глава6использование пакета mathcad в задаче исследования математических функций одной переменной
Исследование функции является одним из важнейших приложений теории пределов, непрерывности функции и производных. Полная схема исследования функции и построения ее графика объединяет в себе три этапа:
Исследование графика функции с помощью первой производной.
Исследование графика функции с помощью второй производной.
При этом на каждом из этапов решаются частные задачи, которые позволяют в целом получить свойства функции и оценить ее поведение в различных областях ее определения:
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на симметричность, периодичность, четность и нечетность.
Вычислить предельные значения функции в ее граничных точках.
Выяснить существование асимптот и получить их уравнения в том случае, если они есть.
Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями.
Сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.
Исследование графика функции с помощью первой производной:
Найти точки, подозрительные на экстремум из решения уравнений 
и 
.
Точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия существования экстремума, определить вид экстремума.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Найти интервалы монотонности функции.
Нанести на эскиз графика экстремальные точки.
Уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.
Исследование графика функции с помощью второй производной.
Найти точки, «подозрительные» на точки перегиба из решения уравнений: y”(х)=0 и y”(х)=.
Точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия.
Вычислить значения функции в точках перегиба.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
Нанести на эскиз графика точки перегиба.
Окончательно построить график функции.
Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.
Очевидно, что проведение полного анализа – очень трудоемкая задача. А решение некоторых вопросов, например, проверка функции на периодичность, требует знаний из областей математики, не входящих в учебную программу. Тем не менее, пакет MathCAD может оказать большую помощь при исследовании функций, особенно в тех случаях, где требуется решение уравнений и неравенств. А технология построения графиков функций, используемая системой MathCAD, позволяет проверять найденные решения практически на любом из этапов исследования.
6.1. Решение уравнений
Многие задачи, с которыми приходилось сталкиваться в школьном курсе математики, задавались и решались в символьном виде. Тем или иным образом преобразовывались и упрощались выражения, использовались определенные стандартные формулы и методы, умножались, делились, сокращались – и в результате выражения приводились к какому-то несложному аналитическому результату. Так, например, при решении квадратного уравнения использовались формулы Виета. Пытаясь аналитически найти корни кубического уравнения, исходные выражения разлагались на линейные множители (или, в крайнем случае, использовали формулу Кардано). Для бикубических уравнений заменялся квадрат искомой переменной на новую переменную и в результате получалось квадратной уравнение.
Решение задач в аналитическом виде имеет массу преимуществ перед решением численным способом. Во-первых, в этом случае ответ может быть вычислен без какой-либо погрешности. Во-вторых, при получении результата в виде аналитического выражения имеются куда более широкие возможности его последующего использования (например, в качестве формулы). В-третьих, числовой результат, полученный при вычислении выражения, представленного в символьном виде, куда более нам понятен, чем десятичная дробь, получаемая при использовании численных методов. Увы, но аналитическим решением обладает очень ограниченное количество задач.
Уравнение в первоначальном понимании – это равенство двух функций 
, рассматриваемых в общей области их определения. При желании это равенство можно записать в виде
, где
.Такой вид называют стандартным.
Решить уравнение – это значит, найти точки, в которых функция f(x) принимает нулевые значения.
В MathCAD реализовано три принципиально отличающихся друг от друга подхода к решению уравнений: применение численных алгоритмов, использование символьных преобразований и графический метод [19].
Чтобы найти корни уравнения в виде выражения, требуется выразить одну переменную через все остальные (или коэффициенты). Сделать же это обычно можно только в том случае, если уравнение включает переменные невысокой степени и не содержит разнородных функций. Такие уравнения специально подбираются в учебниках, и их можно более или менее просто решить на бумаге.
Но на практике часто существует необходимость находить корни таких уравнений, пытаться решать которые с помощью традиционных приемов символьной алгебры совершенно бесперспективно. Численно же можно решить практически любое уравнение. Однако, как отмечалось выше, получаемое при использовании численного метода значение корня в виде числа с плавающей точкой куда менее информативно, чем выражение аналитического решения. Опыт показывает, что простые уравнения лучше решать в символьном виде, более сложные — численно. Обычно численный метод используется, если MathCAD не сможет решить уравнение аналитически.
Имеются такие уравнения, которые нельзя решить ни аналитически (так как они слишком сложны), ни численно (чаще всего потому, что соответствующая функция не является непрерывной). В таких случаях решение ищут по графику, используя специальные инструменты панели Graph (Графические). Данный способ довольно трудоемок, однако он способен обеспечить точность, мало уступающую точности численных методов.
Для численного решения нелинейного уравнения 
можно использовать встроенную функциюroot и блок решенияGiven – find…. Остановимся на функции root, которая имеет вид, представленный на рис. 6.1.
где 
– левая часть уравнения;х – имя переменной, относительно которой решается уравнение; a, b – левый и правый концы отрезка, на котором находится корень уравнения (наличие квадратных скобок в описании указывает на то, что эти параметры являются необязательными). Поиск корня уравнения осуществляется итерационным методом с заданной точностью (точность по умолчанию равна 
). Переустановить значение точности можно с помощью задания нового значения системной переменнойTOL, которая отвечает за точность. Перед использованием встроенной функции root нужно задать начальное значение переменной – искомого корня. Если уравнение имеет несколько корней, то целесообразно начальное значение выбирать исходя из отрезка, определяющего местоположение корня.
Рис. 6.1. Окно мастера функций, открытое для вызова функции root
Пример 1. Найти корень уравнения вида 
в численном виде при начальном значении
и заданной точности
.
Решение. Процесс решения задачи можно свести к выполнению следующих шагов:
Определить функцию для решения.
Задать начальное значение корня.
Переустановить точность – в данном случае не требуется, так как она соответствует точности, взятой «по умолчанию».
Вызвать функцию root для решения.
Фрагмент с решением задачи в системе представлен ниже на листинге.
Для аналитического решения уравнений в системе MathCAD можно воспользоваться одним из двух способов:
С помощью оператора solve, расположенного на панели Symbolic (Символьные).
С помощью команды solve из подменю Symbolics→Variable.
В первом случае для нахождения корня уравнения, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
Введите оператор solve (решить) с помощью одноименной команды панели Symbolic (Символьные). В результате будет представлен шаблон вида:
В левом маркере задайте вид решаемого уравнения.
В качестве знака равенства следует использовать логическое равенство (Bold Equal – вводится сочетанием <Ctrl> +<=>).
Если уравнение приведено к стандартному виду, то достаточно будет в этот маркер вписать лишь его левую часть. При этом выражение будет приравнено к нулю автоматически. Также в левый маркер можно внести и имя функции – в этом случае будут найдены выражения, определяющие ее нули. Форма записи уравнения через функцию удобна в том случае, если оно имеет большую длину.
В правый маркер внесите переменную, относительно которой должно быть решено уравнение, как это показано на рис. 6.2.
Ответ оператор solve возвращает в виде выражения (численного или буквенного), которое вполне можно использовать в дальнейших вычислениях. Если решений имеется несколько, то возвращается содержащий их вектор.
При символьном решении уравнений нет особой разницы, сколько переменных содержит уравнение. Ответ ищется в виде выражения, и поэтому для системы неважно, будет ли оно содержать буквенные или численные элементы. Исходя из этого, вы можете найти корни как уравнения нескольких переменных, так и уравнения с параметрами или буквенными коэффициентами.
Во втором случае, чтобы решить уравнение в символьном виде, нужно ввести уравнение (знак <=> следует брать с панели Boolean), выделить переменную, выбрать команду solve из подменю Symbolics→Variable, как это показано на рис. 6.3.
Рис. 6.2. Символьное решение уравнения с использованием панели инструментов Symbolic
Рис. 6.3. Символьное решение уравнения с использованием подменю Variable
Пример 2. Требуется найти корни уравнения вида 
в символьном виде. Следует иметь в виду, что при решении тригонометрических уравнений система находит только частное решение приn=0.
Решение. Процесс решения задачи можно свести к выполнению следующих шагов:
Выполнить команду solve, расположенную на панели Symbolics (Символьные).
Заполнить предоставленный шаблон.
Проанализировать результат, предоставленный системой в виде, как это показано на рис. 6.4.
Рис. 6.4. Символьное решение уравнения с использованием команду solve
Как это видно из предоставленного системой решения, уравнение имеет три корня — один действительный и два комплексных. Ответ в аналитическом виде не всегда является удобным для анализа, поэтому пересчитываем его с помощью команды float, расположенной на панели Symbolics (Символьные), в десятичную дробь с точностью до 4 знаков:
.
В результате решение примет вид, как это показано на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Символьное решение уравнения с использованием команд solve и float
Пример 3. Требуется найти корни уравнения вида 
в символьном виде.
Решение. Процесс решения, как это показано в предыдущей задаче, можно свести к выполнению следующих шагов:
Выполнить команду solve, расположенную на панели Symbolics (Символьные).
Заполнить предоставленный шаблон.
Результат решения предоставлен на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Символьное решение уравнения с использованием команд solve
В предоставленном решении используется ссылка на функцию с именем W – функцию Ламберта. Функция Ламберта. Это функция обратная функции 
. Чтобы найти значениеW и использовать найденное значение в предоставленном решении, можно также воспользоваться оператором float, как это показано на рис. 6.7.
Рис. 6.7. Символьное решение уравнения с использованием команд solve и float
Пример 4. Требуется найти корни уравнений вида:
;
в символьном виде. Здесь 
– логарифм по основанию 2, а
– логарифм по основанию 10.
Решение выполняется по стандартной схеме, как это показано в предыдущих примерах. Результаты решения представлены на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Символьное решение уравнений с использованием команды solve
Как это видно из рис. 6.8, первое уравнение имеет 4 действительных корня, а второе уравнение не имеет решение – об этом система выдала сообщение (при этом цвет символов в уравнении изменился на красный, а сообщение об отсутствии решения поместилось в прямоугольную область желтого цвета). Действительно, анализ области определения для уравнения 2 (приведен на рис. 6.9) показывает, что эта область пуста, т.е. нет таких значений x, при которых имелось бы решение уравнения. Поэтому при решении уравнений целесообразно предварительно находить область определения функции.
Решение уравнений в MathCad
Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:
Использование метода Given — Find:
Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.
Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю
Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad
Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)
Рис. 2. Панели Boolean и Calculator
После уравнения вводится функция Find(x) (где х — переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах
Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ «→«, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ «=«, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку
Рис. 3. Панель «Evaluation»
В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны
Рис. 4. Результат численного решения уравнения
Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата
Рис. 5. Результат символьного решения уравнения
Использование метода Solve:
Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа «ровно» из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)
Рис. 6. Панель Symbolic
Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)
Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve
Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов
Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.
Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.
Подстановка переменной (Substitute) MathCAD
Очень удобная возможность символьных вычислений — это операция подстановки значения переменной в выражение. При помощи меню подстановка производится следующим образом (рис. 5.12):
- Выделите значение переменной, которое необходимо подставить в некоторое выражение. Значение переменной может быть любым выражением относительно любых переменных (на рис. 5.12 в качестве подстановки взята самая первая строка документа).
- Скопируйте значение переменной в буфер обмена, например, нажатием , клавиш <Ctrl>+<C> или кнопки Сору (Копировать) на панели инструментов Standard (Стандартная).
- Выделите в выражении, в которое требуется подставить значение из буфера обмена, переменную, которая будет заменяться (во второй строке на рис. 5.12 выделена переменная х).
- Выполните команду Symbolics / Variable / Substitute (Символика / Переменная / Подставить).
Результат этих действий иллюстрируется нижней строкой в документе на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Подстановка значения переменной
Для осуществления той же операции в совокупности с оператором символьного вывода используйте ключевое слово substitute, которое вставляется в документ одноименной кнопкой на панели Symbolic (Символика). После ключевого слова substitute необходимо ввести в местозаполнители логическое выражение, показывающее, какую именно переменную какой формулой следует заменить (листинг 5.12).
Листинг 5.12. Подстановка значения переменной
Релятивисты и позитивисты утверждают, что «мысленный эксперимент» весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: «Если факт не соответствует теории — измените факт» (В другом варианте » — Факт не соответствует теории? — Тем хуже для факта»).
Максимально, на что может претендовать «мысленный эксперимент» — это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Понятие «мысленный эксперимент» придумано специально спекулянтами — релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим «честным словом». Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.