Расчёт аппроксимации экспериментальных данных с использованием MathCAD
Построение графика квадратичной аппроксимации в MathCAD:
Рис.7. Исходная функция и линия тренда для квадратичной аппроксимации.
Экспоненциальная аппроксимация данных:
Нахождение коэффициентов а1, а2, z.
Построение графика экспоненциальной аппроксимации в MathCAD:
Рис.8. Исходная функция и линия тренда для экспоненциальной аппроксимации.
Расчёт аппроксимации экспериментальных данных с использованием MatLAB
Ввод исходных данных:
>> x=[1.05 1.65 2.08 2.76 2.99 3.65 4.05 4.15 4.39 4.76 5.08 5.43 5.89 6.43 6.91 7.13 7.34 8.01 8.54 9.01 9.54 9.85 10.06 10.42 10.89];
>> y=[3.45 6.76 9.08 17.98 27.78 40.43 53.87 59.96 70.08 85.96 95.06 100.98 121.76 112.83 99.05 87.95 72.08 60.87 55.08 44.41 25.97 18.64 11.43 8.87 5.51];
Линейная аппроксимация функции:
Нахождение коэффициентов линейной функции.
Построение графика линейной аппроксимации в MatLAB:
Рис.9. Исходные данные и линия тренда для линейной аппроксимации.
Квадратичная аппроксимация данных:
Нахождение коэффициентов квадратичной функции.
-4.3899 53.7216 -76.1393
Построение графика квадратичной аппроксимации в MatLAB:
Рис.10. Исходные данные и линия тренда для квадратичной аппроксимации.
Экспоненциальная аппроксимация данных:
Нахождение коэффициентов экспоненциальной функции.
Построение графика экспоненциальной аппроксимации в MatLAB:
Рис.11. Исходные данные и линия тренда для экспоненциальной аппроксимации
Заключение
В данной курсовой работе я посчитала аппроксимацию экспериментальных данных методом наименьших квадратов с помощью различных программных средств, таких как Microsoft Excel, MathCAD и MatLAB.
Исходя из произведённых расчётов, выяснила, что квадратичная аппроксимация наилучшим способом описывает экспериментальные данные.
Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН в Microsoft Excel, увидела, что они полностью совпадают с вычислениями, проведёнными выше. А коэффициент детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением, поскольку при вычислении коэффициента детерминированности с помощью функции ЛИНЕЙН используются не истинные значения у, а преобразованные значения lnу с дальнейшей линеаризацией.
Результаты, полученные в программах Microsoft Excel, MathCAD, MatLAB совпадают, следовательно, расчёты выполнены верно
2.Аппроксимация в среде MathCad.
2.1. Аппроксимация линейной функцией с использованием встроенных функций системы MathCad .
Пусть функция f(x) эадана таблицей значений < (xi ,yi ) , i=0,1,2. n >
Настройка системы Mathcad
Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией).
Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept – точку пересечения графика с вертикальной осью.
c=0.407843
Определяем аппроксимирующую функцию:
Mathcad предлагает для этих же целей также использовать функцию line
Вычислим стандартное отклонение.
Графики аппроксимирующей прямой и табличных данных
2.2.Аппроксимация полиномами.
Теперь попытаемся подобрать полиномы второй и третьей степени, в качестве аппроксимирующей функции.
Для этих целей служат встроенные функции regress и interp.
Функция regress (Mx,My,n) является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp , где
— Mx,My — данные аппроксимации ;
— n – степень аппроксимирующего полинома (Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы.).
Функция interp(vs , Mx ,My , x) возвращает значение полинома в точке x , где
— vs = regress (Mx,My,n) — вектор, который содержит, в том числе, и коэффициенты полинома ;
— x – значение аргумента , для которого необходимо вычислить значение
Вводим степени полиномов :
Вычислим коэффициенты аппроксимирующих полиномов
Определив новые функции f2, f3, мы получили возможность находить значение полинома в любой заданной точке.
Коэффициенты аппроксимирующих полиномов получим из vs2 и vs3 с помощью встроенной функции submatrix :
Вычислим стандартные отклонения
Стандартные отклонения почти не отличают друг от друга, коэффициент при третьей степени z невелик, поэтому дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и достаточно ограничиться только второй степенью.
К сожалению, функция regress имеется далеко не во всех версиях Matcad‘а.
Однако, провести полиномиальную регрессию можно и без использования этой функции.
Для этого нужно определить коэффициенты нормальной системы и решить полученную систему уравнений, например, матричным методом.
Теперь попытаемся аппроксимировать экспериментальные данные полиномами степени m и m1, не прибегая к помощи встроенной функции regress .
Как сделать апроксимацию в маткаде
Примеры аппроксимации функций
1. Рассмотренный в общем виде метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов регрессионного уравнения, аппроксимирующего таблично заданную функцию, может быть реализован средствами программирования системы Mathcad. В приводимых далее примерах по заданным вектору значениям функции отклика y и матрице значений факторов z вычисляются последовательно
- матрица коэффициентов системы линейных уравнений А;
- вектор свободных членов B этой системы;
- вектор корней системы линейных уравнений – искомые коэффициенты регрессии.
Приведем два варианта решения задачи аппроксимации:
-
в первом примере каждый из перечисленных этапов реализован в виде отдельного блока с необходимыми комментариями;
Функция MNK, использованная во втором примере, получает через список параметров m – объем выборки; k – число факторов; z – матрицу значений факторов; y – вектор значений функции отклика. Результатом выполнения функции будет вектор коэффициентов регрессии – (k+1) элемент, так как исходное регрессионное уравнение предполагает наличие свободного члена.
Отметим, что рассмотренный алгоритм позволяет оценить коэффициенты уравнений при нескольких независимых переменных, т.е. является алгоритмом множественной линейной регрессии. Основная задача пользователя – правильно определить факторы и вычислить их значения для матрицы факторов.
Mathcad имеет ряд встроенных функций, реализующих алгоритмы аппроксимации для различных видов уравнений. Как правило, предполагается наличие одной независимой переменной.
Все функции, упоминаемые далее в этом разделе, описаны в приложении «Встроенные функции и ключевые слова» настоящего пособия.
2. Линейная регрессия общего вида аппроксимирует заданную совокупность точек функцией вида
Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x), . Fn(x), причем сами эти функции (факторы) могут быть нелинейными, что расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.
Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция
Она возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек, координаты которых хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x), . Fn(x), записанные в символьном виде.
3. В Mathcad введена и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома
Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp(VS, VX, VY.x), содержащий коэффициенты многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает «облако» точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY. Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix (см. пример).
На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4–6, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают. Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек.
4. Многомерную регрессию также можно реализовать в Mathcad. Самый типичный случай ее использования – приближение поверхностей в трехмерном пространстве. Их можно описать, задав массив значений высот z, соответствующих двухмерному массиву Мху координат точек (х,у) на горизонтальной плоскости.
Новых функций для этого не задано. Используются уже описанные ранее функции, но в несколько иной форме, например
- regress (Mxy, Vz, n) – возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS. Mxy, Vz, V) для вычисления многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz, Мху – матрица размера 2m, содержащая координаты х и у. Vz – m-мерный вектор, содержащий z-координаты, соответствующие m точкам, указанным в Мху.
- Interp(VS, Mxy, Vz, V) – возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функцией regress) и Мху, Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z).
5. Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К коэффициентов произвольной функции F(x, К1, К2, . Кn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция
genfit(VX, VY, VS, F)
Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F(x, К1, К2, . Кn) исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
В примере далее приведен образец реализации нелинейной регрессии общего вида для уравнения ln p = A – B / (C + t).
При решении этой задачи возникают две проблемы. Во-первых, надо вычислить значения производных по переменным A, B, C. В документе это сделано с помощью символьных операций
Вторая проблема связана с необходимостью применения функции genfit в ее стандартном виде. Поэтому пришлось заменить искомые коэффициенты модели на элементы массива k
6. Перечень некоторых дополнительных функций для оценки коэффициентов аппроксимирующих уравнений разного вида (см. приложение)
Анализ данных в MathCad
Данный урок посвящается поискам взаимосвязей между данными, которые мы получили в результате проведенного эксперимента.
Аппроксимация
Посмотрите на таблицу, в которую мы внесли данные результата нашего эксперимента.
После возведения графика мы обнаружим, что данные разбросаны по всей рабочей площади.
Теперь проведем через эти точки линию. Функция, которая оптимально соответствует найденным в ходе эксперимента данным, получила название «аппроксимация». Такие данные находятся во взаимной линейной зависимости:
«а» обозначает угловое значение прямой. b – это точка пересечения у и с. Чтобы определить данные константы самостоятельно, можно провести линию на графике. В Mathcad пользователи смогут поработать над данным процессом самостоятельны. Константы заданы с учетом глобального определения. И любая смена констант сразу отобразится на графике.
Теперь пробуем поменять а и b, установив им оптимальное соотношение. Смотрим, как меняются графики.
Mathcad включает огромный набор опций аппроксимации и сглаживания. Самой упрощенной функцией по праву считается line.
Данные коэффициенты можно найти, руководясь методикой самых меньших квадратов. Вы нашли нужное соотношения и вполне можете его использовать для оценивания координат.
Второе значение является экстраполированным. Оно найдено только для значения Х, которое не включено в интервал данных, полученных методом эксперимента.
Интерполяция
Регрессионный анализ необходим для работы над большими объемами данных. Если их немного, то вполне можно ограничиться опциями интерполяции. Мы собираемся пользоваться пятью точками данных из таблицы ниже:
Допустим, что мы хотим найти значение Y при X=3.4. Для этого мы можем обратиться к линейной интерполяции.
Смотрим на особенности функции, строя при этом график:
Linterp устанавливает прямые линии между точками:
Более интересной методикой интерполяции является использование линейного сплайна. Данная опция производится в два этапа. Для начала нужно построить вектор, а после использовать для интерполяции.
Так, нам удалось разработать линию, которая проходит через созданные нами точкам. Естественно, данная методика достаточно часто страдает от всевозможных промахов – ошибок, которые получаются из-за неправильного течения эксперимента. Если вы работаете с множеством данных, от этой методики стоит отказаться.
Итак, мы изучили два основных метода анализирования экспериментальных данных. Теперь только вам выбирать оптимальный для себя вариант.