Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами какова вероятность того что 2 выбранных наугад
Перейти к содержимому

Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами какова вероятность того что 2 выбранных наугад

  • автор:

Вероятность равновозможных событий (продолжение)

Пример 3. Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?

Пусть А — событие, при котором 2 выбранных велосипеда окажутся без дефектов. Любой выбор двух велосипедов из 16 является равновозможным исходом. Значит, общее число равновозможных исходов равно числу сочетаний из 16 по 2, т. е. Исходом, благоприятным для события А, является выбор двух исправных велосипедов из имеющихся 12 исправных (16 — 4 = 12). Следовательно, число благоприятных для события А исходов равно Отсюда получаем, что

Пример 4. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

Число исходов при выборе четырех дежурных равно Все эти исходы равновозможны.

Пусть А — событие, при котором выбраны 2 юноши и 2 девушки. Выбрать 2 юношей из 7 можно способами, а выбрать 2 девушек из 4 можно способами. Каждому выбору двух юношей соответствует выборов 2 девушек. Значит, число исходов, благоприятных для события А, равно Отсюда получаем, что

Введем теперь понятия достоверного и невозможного событий.

Событие, которое при проведении некоторого опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием.

Пусть С — событие, состоящее в том, что при бросании игрального кубика выпадет менее 7 очков. Это событие является достоверным. Каждый из исходов 1, 2, 3, 4, 5, 6 является благоприятным для события С. Значит, вероятность наступления события С равна:

Вообще вероятность достоверного события равна 1.

Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения, называют невозможным событием.

Обозначим буквой F событие, означающее, что при бросании игрального кубика выпадает 7 очков. Очевидно, что это событие произойти не может. Число благоприятных для него исходов равно нулю, т. е.

Вообще вероятность невозможного события равна 0.

Пусть некоторое испытание имеет n равновозможных исходов, из которых m исходов благоприятны для события А. Тогда Так как m ≤ n, то т. е. Р(А) ≤ 1. С другой стороны, всегда Р(А) ≥ 0. Следовательно, 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Это можно проиллюстрировать с Р(А) помощью вероятностной шкалы (рис. 82).

Точкой 0 изображается вероятность невозможного события, а точкой 1 — вероятность достоверного события. Если событие А не является ни невозможным, ни достоверным событием, то Р(А) изображается точкой, расположенной между 0 и 1. Чем меньше вероятность наступления события А, тем ближе к 0 расположена точка Р<А). Чем больше вероятность наступления события А, тем ближе к 1 расположена точка Р(А).

Вероятность случайного события иногда удается найти, используя геометрические соображения.

Рассмотрим такой пример. Участники игры поочередно бросают в мишень дротики (специальные стрелы). Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг и кольцевая зона, причем радиус малого круга вдвое меньше радиуса большого круга (рис. 83).

Найдем вероятность того, что при попадании дротика в мишень точка попадания окажется в кольцевой зоне.

Будем считать, что попадание дротика в любую точку мишени равновозможно и вероятность попадания дротика в какую-либо область прямо пропорциональна площади этой области.

Пусть радиус большого круга, представляющего собой мишень, равен R, тогда радиус центрального круга равен Площадь мишени равна πR 2 , а площадь центрального круга равна Значит, площадь кольцевой зоны равна Вероятность того, что точка попадания дротика окажется в кольцевой зоне, равна отношению площади кольцевой зоны к площади мишени, т. е. равна

Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами какова вероятность того что 2 выбранных наугад

  • Записаться на пробный урок 0
  • Помощь 0
Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.

© DisTTutor LLC 2008 — 2022

  • ChemSchool
  • PREPY.RU
  • Class
  • свое имя;
  • свою фамилию;
  • свой email;
  • свой пароль;
  • потверждение пароля;
  • в качестве кого вы регистрируетесь;

Внимание! Вы собираетесь купить тариф Vip сроком на дней за руб.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ

Вероятность события Аравна отношению числа исходов испытания m, в которых может появиться событие А, к общему числу n всех элементарных исходов испытания, образующих полную группу:

ПРИМЕР 2.1.Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность получить слова: а) "тор"; б) "теория"?

РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — получение слова "тор". Элементарным исходом испытания является извлечение трех карточек из шести. Общее число всех исходов испытания равно числу размещений из 6 по 3, так как различные выборки могут отличаться как составом, так и порядком:

Слово "тор" можно получить только одним способом m=1. Тогда:

б) Пусть событие В — получение слова "теория". Элементарным исходом испытания является получение различных комбинаций из шести букв. Общее число всех исходов испытания равно числу перестановок из 6, так как различные выборки могут отличаться друг от друга только порядком:

Слово "теория" можно получить только одним способом m=1. Тогда:

ПРИМЕР 2.2.Буква «а» написана на трех карточках, буква «н» — на двух карточках, буква «с» — на одной карточке. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность получить слово "ананас"?

РЕШЕНИЕ. Пусть событие А — получение слова "ананас". Как и в предыдущем случае, элементарным исходом испытания является получение различных комбинаций из шести букв. Общее число всех исходов испытания равно числу перестановок из 6, так как различные выборки могут отличаться друг от друга только порядком:

Слово "ананас" можно получить не одним способом, так как перестановка трех букв «а» и двух букв «н» не меняет это слово. Три карточки с буквой «а» можно расставить 6 способами:

Две карточки с буквой «н» можно расставить 2 способами:

Карточку с буквой «с» можно расставить одним способом. Тогда: m=m1m2m3=6×2×1=12.Следовательно:

ПРИМЕР 2.3. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара: а) оба красные; б) 1 красный, 1 синий?

РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — извлечены два красных шара. Общее число всех исходов испытания равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 15. Различные выборки могут отличаться друг от друга только составом (порядок не имеет значения), поэтому:

Число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу сочетаний из 9 красных шаров по 2:

б) Пусть событие В — извлечены один красный и один синий шар. Общее число всех исходов испытания, как и в предыдущем случае, равно n=105. Для того чтобы подсчитать число случаев, благоприятствующих событию В, необходимо выбрать 1 шар из 9 красных (одно исходное множество) и 1 шар из 6 синих (другое исходное множество). Тогда:

ПРИМЕР 2.4.В партии 50 деталей, из них 5 — бракованные. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки шести деталей две окажутся бракованными?

РЕШЕНИЕ. Пусть событие А — выбраны 2 бракованные детали и 4 небракованные. Общее число всех исходов испытания равно числу способов, какими можно выбрать 6 деталей из 50. Различные выборки могут отличаться друг от друга только составом (порядок не имеет значения), поэтому:

Для того чтобы подсчитать число случаев, благоприятствующих событию А, необходимо выбрать 2 детали из 5 бракованных (одно исходное множество) и 4 детали из 45 небракованных (другое исходное множество). Тогда:

ПРИМЕР 2.5. В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с первого по девятый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на шестом этаже; б) на одном этаже?

РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — все пассажиры выйдут на шестом этаже. Каждый пассажир может выйти на восьми этажах (со второго по девятый этаж), то есть исходное множество состоит из 8 этажей. Выборка равна 4 этажам. Тогда общее число всех исходов испытания равно числу размещений с повторениями, так как элементы выборки могут повторяться (например, все четыре человека могут выйти на одном и том же этаже). Поэтому:

Число случаев, благоприятствующих событию А, равно m=1.

б) Пусть событие В — все пассажиры выйдут на одном этаже. Теперь событию В будут благоприятствовать m=8 случаев (все пассажиры выйдут или на втором этаже, или на третьем, …, или на девятом этаже). Следовательно:

ПРИМЕР 2.6.В партии 100 изделий, из них 4 — бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные детали достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?

РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — все бракованные изделия достанутся одному потребителю. Общее число всех исходов испытания равно числу способов выбрать 50 изделий из 100, то есть:

Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 и все 4 бракованных изделия, либо 50 стандартных из 96:

б) Пусть событие В — в каждой партии по 2 бракованных изделия. Теперь событию В будут благоприятствовать случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будут 48 стандартных из 96 и 2 бракованных из 4, то есть:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *