Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12
Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 3-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной (см. разд. 3.1 и 3.2), за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор n-й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится с той же панели Calculus (Вычисления), либо с клавиатуры нажатием клавиш CTRL +?, и содержит еще два дополнительных местозаполнителя (рис. 3.7), в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них.
Рис. 3.7. Оператор производной высшего порядка
Очевидно, что "производная" при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная. Листинг 3.7 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной функции в заданной точке. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная. А вот для аналитического нахождения производных высших порядков при помощи оператора символьного вывода (в полном соответствии с разд. 3.1), вводить значения аргумента не следует (листинг 3.8).
Листинг 3.7. Пример вычисления второй производной функции в точке:
Листинг 3.8. Пример аналитического поиска второй производной функции:
Примечание
Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 3.7 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке, можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Simplify (Упростить). После этого ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения.
Повторимся, что численный метод предусматривает возможность вычисления производных до 5-го порядка, а символьный процессор умеет считать производные произвольного порядка (конечно, если аналитическое решение задачи в принципе существует). Сказанное иллюстрирует листинг 3.9, в котором аналитически вычисляется шестая производная функции, а попытка численного вывода результата того же выражения приводит к ошибке.
Листинг 3.9. Численное и символьное вычисление шестой производной:
Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го численно, можно последовательно применить несколько раз оператор м-й производной (листинг 3.10), подобно тому, как производится отыскание кратных интегралов (см. разд. 4.3.4). Однако следует помнить о том, что численное определение производных высших порядков производится тем же вычислительным методом Риддера, что и для первых производных. Поскольку, как уже было сказано, для первой производной этот метод обеспечивает точность до 7-8 значащих разрядов числа, при повышении порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.
Внимание!
Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных может быть очень существенно. В частности, если попытаться определить шестую производную функции l/х, то в качестве результата будет выдан ноль, в то время как истинное значение девятой производной может быть найдено при помощи символьного процессора (листинг 3.10).
Листинг 3.10. Попытка численного поиска шестой производной функции в точке дает неправильный результат:
Дифференцирование.
Применение MathCAD для дифференцирования функций может не только сэкономить время и силы, но и избежать возможных ошибок, неизбежно возникающих при сложных ручных расчетах. Система MathCAD позволяет производить дифференцирование функций как в символьном виде, так и численно.
Символьное дифференцирование можно осуществить тремя способами:
1. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду из меню
Symbolics/Simplify или Symbolics/Evaluate/Symbolically
2. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду символьного вывода или ключевое слово simplify c панели Symbolics (кардинальская шапка);
3. Набрать выражение для функции, выделить переменную, по которой необходимо провести операцию дифференцирования и дать команду из меню
В вышеприведенном примере показано и численное дифференцирование функции в точке x=2, при этом символьная производная запоминается в функции D(x), затем происходит обращение к этой функции и дается команда численного вычисления (знак “=”). Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8 знака после запятой. Существенно, что погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL и CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом.
Возможности MathCAD позволяют продифференцировать любую непрерывную функцию, но иногда возникает необходимость находить производную от функции вблизи точки разрыва. В математике для дифференцирования функции вблизи точки разрыва используют операцию односторонней производной. В MathCAD нет встроенных операторов для вычисления односторонних производных, но вычислить их все-таки можно. Для этого следует скомбинировать оператор обычной производной с операторами односторонних пределов, как это сделано в нижеприведенном примере
Производные высших порядков. Для вычисления производных высших порядков в MathCAD предусмотрен специальный оператор на панели Calculus. Шаблон этого оператора содержит на два поля ввода больше, чем оператор обычной производной. В эти два поля может быть вписан порядок производной, причем достаточно ввести значение в одном из них, а в другом оно появится автоматически. Производные высших порядков можно вычислять и в символьном виде, и численно, но при численных расчетах вы можете вычислить производную не выше пятого порядка. Это связано с тем, что используемый алгоритм численного дифференцирования очень быстро теряет точность при росте порядка производной. В символьном же виде вычисление производных высших порядков производится так же просто и точно, как и производной первого порядка.
Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Для того, чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, необходимо выбрать из контекстного меню для области оператора дифференцирования пункт View Derivative As (Изображать производную как), в появившемся подменю выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).
Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.
Функции и переменные в Маткад
Посредством различных функций определяются произвольно зависящие друг от друга выходные и входные данные. Данный набор параметров принимается функциями, затем возвращается в виде векторного либо скалярного значения. Формулы рабочего листа позволяют применять как внесенные пользователем функции, так и стандартные. Для применения функции различных уравнениях ее вызывают по имени путем ввода входных данных в скобках после имени самой функции. Панели инструментов Калькулятор позволяет ввести самые простые математические функции. Сведения об иных функциях располагаются в справочной части утилиты.
В открывшемся диалоговом окне выбирают определенный раздел, к которому принадлежит нужная функция, справа выбирается сама функция. Ниже приводятся сведения о конкретной функции. Внесение функции посредством этого окна подразумевает также автоматическое появление полей и скобок для необходимых параметров.
Изначально желательно определить функции пользователя. С этой целью используется оператор присваивания. В левой части вводятся формальные значения, от которых зависит функция, и ее наименование. В правой части данные переменные должны применяться в выражении, к примеру:
На панели Программирование располагается клавиша Add line, при помощи которой добавляются строки. К ее использованию прибегают в случае, если существует необходимость выполнения сразу нескольких функций. Это допускает операцию внутреннего присваивания, обозначаемую стрелкой, а просчитанные подобным образом переменные не могут быть использованы за пределами одной функции и являются локальными. К примеру, на нижеприведенном изображении вычисление функции ftc занимает три действия, причем переменные c2k и c3k видны только внутри данной функции.
Во всех остальных формулах пользовательскую форму применяют путем ручного ввода ее имени. Отображаться в окне Вставка функции оно не будет.
Как найти производную в Mathcad
Производная в маткаде может вычисляться разными способами вне зависимости от уровня ее сложности. Быстро вызвать подобный инструмент можно при помощи специальной клавиши, располагающейся на панели Calculus. Результат можно получить только после того, как программой будет вызван оператор аналитических вычислений.Находится производная в MathCad следующим образом:
- На панели Calculus выбирается клавиша d/dx, предназначенная для дифференцирования производной. После оператора функции записывается само выражение, по которому необходимо определить производную. Затем вводится символ стрелки либо с клавиатуры путем нажатия комбинации Ctrl + «.», либо нажатием отдельной клавиши на панели программы. После нажатия F9 будет выведено математическое уравнение производной.
- Производная в заданной точке графика находится другим методом. Изначально значение дифференциала от заданной функции присваивается новой. После в данную функцию подставляются координаты точки. Можно воспользоваться и немного иным вариантом: найти производную от функции, сперва задав параметры точки. Результат выводится путем нажатия на знак равенства.
- Производные высшего порядка вычисляются посредством dn/dxn – кнопки, располагающейся на панели Calculus. Натуральный числом непременно обозначается показатель порядка N. После того, как на рабочем поле появится шаблон, по которому вычисляется производная, в соответствующие поля вводится функция, переменная и значение порядка. Чтобы получить результат, прибегают к использованию стрелки. Во время вычисления производной функции следует помнить о том, что с просчетом каждого последующего порядка увеличивается погрешность результата. Соответственно, использование численных методов не всегда является разумным: желательно проверять возможность нахождения аналитического решения.
Как найти производную с помощью Mathcad.
Продолжаем изучать программы, что помогают работать с математикой. И сегодня я вам немножко начну рассказывать о Mathcad, и более подробно остановимся на решении производных с помощью этой программы .
И так, посмотрев видеоурок, что подан ниже, вы узнаете:
- Как писать в Mathcad;
- Где брать математические функции в этой программе;
- Какие там есть свои нюансы;
- Как с её помощью решать производные сложных функций;
- И даже, как можно находить производные высших порядков.
Вы можете бесплатно скачать Mathcad на 30 дней и видеоурок по этой ссылке: скачать Mathcad .
Ознакомиться с правилами решения таких упражнений вы можете по пошаговым видеоурокам на конкретных примерах, если вы их ещё не смотрели, то обязательно подпишитесь на мою рассылку здесь!